Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah

dengan a, b, p, q, r adalah bilangan real. 

Langkah-langkah Menyelesaikan SPLKDV

a. Subtitusikan y = ax+b ke y = px2 + qx + r sehingga berbentuk persamaan kuadrat

b. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yakni x1 dan x2

c. Subtitusikan x1 dan x2 ke persamaan bentuk linear untuk mendapatkan y1 dan y2

d. Himpunan penyelesaiannya adalah {(x1,y1),(x2,y2)}

Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dan bentuk kuadrat memiliki tiga kemungkinan, yakni:

1. Jika D>0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
2. Jika D = 0, maka garis dan parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
3. Jika D < 0, maka garis dan parabola tidak berpotongan sehingga tidak mempunya himpunan penyelesaian atau { }

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan  adalah

A. {(2,-1),(3,0)}
B. {(1,2),(3,0)}
C. {(-1,0),(2,3)}
D. {(2,3),(0,-1)}
E. {(0,3),(-1,2)}
Pembahasan:
Substitusikan y = x - 3 ke y = x2 - 4x + 3, diperoleh:
x - 3 = x2 - 4x + 3
<=> -x2 + 5x - 6 = 0
<=> x2 - 5x + 6 = 0
<=> (x - 3)(x - 2) = 0
<=> x1 = 3 atau x2 = 2
Untuk x1 = 3 maka y1 = 3 - 3 = 0
Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 - 3 = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,-1),(3,0)} ---> Jawaban: A
Baca Juga: Materi Lengkap: Sistem Persamaan Linear

2. Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)
Sistem persamaan kuadrat dengan variabel x dan y secara umum dinyatakan sebagai berikut:

dengan a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan real

Langkah-langkah menyelesaikan SPK:

1. Substitusikan persamaan yang satu ke persamaan yang lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat
2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk sehingga diperoleh himpunan penyelesaian: {(x1,y1),(x2,y2)}

Himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat memiliki 6 kemungkinan, yaitu:

1. Jika D > 0, maka  kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya.
2. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
3. Jika D < 0, maka kedua parabola tidak berpotongan sehingga tidak mempunya himpunan penyelesaian atau { }
4. Jika a = p, b ≠ q, maka kedua parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
5. Jika a = p, b = q dan c ≠ r, maka kedua parabola tidak berpotongan sehingga himpunan penyelesaiannya { }
6. Jika a = p, b ≠ q dan c = r, maka kedua parabola berimpit sehingga anggota himpunan penyelesaiannya tak berhingga penyelesaiannya.

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan  adalah
A. {(5,2),(2,3)}
B. {(2,-5),(2,-3)}
C. {(-2,5),(2,-3)}
D. {(-2,-3),(2,-5)}
E. {(-3,5),(2,-2)}

Pembahasan:
Substitusikan persamaan y = x2 -2x - 3 ke persamaan y = -x2 -2x + 5
x2 -2x - 3 = -x2 -2x + 5
<=> 2x2 -8 = 0
<=> x2 - 4 = 0
<=> (x - 2)(x + 2) = 0
<=> x = 2 atau x = -2
Untuk x = 2
y = x2 - 2x - 3
y = (2)2 -2 (2) - 3
y = 4 - 4 - 3
y = -3
Untuk x = -2
y = x2 - 2x - 3
y = (-2)2 -2 (-2) - 3
y = 4 + 4 - 3
y = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-2,5),(2,-3)}